連立方程式を解く

パッケージnleqslv†

連立方程式を解くためのパッケージとして、nleqslv（Solve systems of non linear eqations）が用意されている。 同名の関数により、線形連立方程式および非線形連立方程式を解くことができる。

Broyden's methodとニュートン法が選択でき、ヤコビアンをイテレーション毎に計算するかどうかの違いがある。ヤコビアンを自分で与えることもできる。

関数nleqslv†

例えば、(x,y)を未知数とする二変数の連立方程式を解きたければ、 [f(x, y) = 0, g(x, y) = 0]と変形して、 c(f(x, y), g(x, y))を返す関数を用意する。 関数nleqslvは、c(f(x, y), g(x, y))をゼロにするx, yを求める。

例：†

Pareto分布（a, c）の平均と分散は M = a*c/(a-1), V = a*c^2/(a-1)^2/(a-2)だが、 任意の平均と分散を持つPareto分布のパラメータ(a, c)を求める。

fn <- function(x, M, V) {
  a <- x[1]
  c <- x[2]
  c(M - a*c/(a-1), V - a*c^2/(a-1)^2/(a-2))
}

M = 1, V = 1とすると

library(nleqslv)
fn1 <- function(x) fn(x, 1, 1)
ans <- nleqslv(c(3, 3), fn1) # a = 3, c = 3 を初期値とする

結果は

> ans
$x
[1] 2.4142136 0.5857864

$fvec
[1] 1.234427e-10 7.169013e-09

$termcd
[1] 1

$message
[1] "Function criterion near zero"

$scalex
[1] 1 1

$nfcnt
[1] 13

$njcnt
[1] 1

a = 2.4142136, c = 0.5857864が解であることがわかる。

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