Rにおける確率分布
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COLOR(red){SIZE(30){Rの確率分布システム}}
#contents
~
*R はさまざまな確率分布に関する関数を持つ。 [#jf12d3f5]
かって統計の本には必ず付いていた数表はもはや必要ない。R 自身がオンライン数表である。
R における確率分布関係関数は次のような統一的命名規則を持つ。つまり、分布名を xxx とすると
|dxxx | 密度関数(離散分布なら確率関数)の値 |
|pxxx | は累積確率分布関数値 P[X <= x] もしくは P[X > x] |
|qxxx | クォンタイル値(確率 q に対する P[X <=x]=q または P[X > x]=q となる x の値)|
|rxxx |(疑似)乱数|
例として正規分布を例にあげると
|dnorm(x, mean=0, sd=1, log = FALSE)|
|pnorm(q, mean=0, sd=1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)|
|qnorm(p, mean=0, sd=1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)|
|rnorm(n, mean=0, sd=1)|
ここで引数の意味は
| x | 密度関数を求める位置(のベクトル)|
| q | 確率分布関数を求める位置(のベクトル)|
| p | クォンタイル値を求める確率(のベクトル)|
| n | 発生すべき乱数の数|
(分布毎に異なる)パラメータ引数
| mean | 平均(のベクトル) |既定値は 0|
|sd | 標準偏差の(ベクトル)|既定値は 1|
その他のオプションパラメータ
|log | 論理値 | 既定値は FALSE | もし TRUE なら確率は対数値|
| log.p | 論理値 | 既定値は FALSE | もし TRUE なら確率は対数値|
| lower.tail | 論理値 | 既定値は TRUE | TRUE なら下側確率 P[X <= x]、もし FALSE なら上側確率 P[X > x]|
* base パッケージで提供される分布一覧 [#xb99d531]
貢献パッケージには多次元確率分布を含む、更に多くの関数が提供されている。
|分布名 | R での名前 | パラメータ |分布名 | R での名前 | パラメータ|
|ベータ | beta | shape1, shape2, ncp|2項 | binom | size, prob|
|コーシー | cauchy | location, scale|カイ自乗 | chisq | df, ncp|
|指数 | exp | rate|F | f | df1, df1, ncp|
|ガンマ | gamma | shape, scale|幾何 | geom | prob|
|超幾何 | hyper | m, n, k|対数正規 | lnorm | meanlog, sdlog|
|ロジスティック | logis | location, scale|多項 | multinom | n, size, prob |
|負の2項 | nbinom | size, prob|正規 | norm | mean, sd|
|ポアソン | pois | lambda|t | t | df, ncp|
|一様 | unif | min, max|ワイブル | weibull | shape, scale |
|ウィルコクソン | wilcox | m, n| スチューデント化範囲(チューキー) | tukey | nmenas, df, nranges |
(tukey 分布は ptukey と qtukey のみ)
* 例 [#j5e23133]
> ?rnorm
> dnorm(c(-0.7, 0.5, 1,2, 2.1)) # N(0,1) の密度関数
[1] 0.31225393 0.35206533 0.24197072 0.05399097 0.04398360
> pnorm(c(-0.7, 0.5, 1,2, 2.1)) # N(0,1) の累積確率分布
[1] 0.2419637 0.6914625 0.8413447 0.9772499 0.9821356
> qnorm((0:10)/10) # N(0,1) のクォンタイル
[1] -Inf -1.2815516 -0.8416212 -0.5244005 -0.2533471 0.0000000
[7] 0.2533471 0.5244005 0.8416212 1.2815516 Inf
> rnorm(10) # N(0,1) の乱数
[1] -0.68562741 1.54190545 -0.75403197 0.25997618 -0.54360004 1.11077348
[7] 0.11983464 -0.05869832 -0.21042407 0.14462494
> mean(rnorm(100, mean=1, sd=1.3))
[1] 1.026899 # 平均 1 を推定
> sd(rnorm(100, mean=1, sd=1.3))
[1] 1.253605 # 標準偏差 1.3 を推定
> pnorm(1.3, mean=1:3, sd=1:3) # (mean,sd)=(1,1),(2,2),(3,3) で計算
[1] 0.6179114 0.3631693 0.2854703
> pnorm(1.3, mean=1:3, sd=1.3) # 平均にベクトル指定
[1] 0.59125296 0.29512923 0.09548885
> pnorm(1.3, mean=1.3, sd=1:3) # 標準偏差にベクトル指定
[1] 0.5 0.5 0.5
> qnorm((0:10)/10, lower.tail=FALSE) #上側クォンタイル P[X > x]=q となる x
[1] Inf 1.2815516 0.8416212 0.5244005 0.2533471 0.0000000
[7] -0.2533471 -0.5244005 -0.8416212 -1.2815516 -Inf
> pnorm((0:10)/10, lower.tail=FALSE, log.p=TRUE) # log P[X <-x]
[1] -0.6931472 -0.7761546 -0.8657395 -0.9621028 -1.0654340 -1.1759118
[7] -1.2937038 -1.4189678 -1.5518513 -1.6924928 -1.8410216
*ランダムサンプリング sample関数 (一般的な有限離散分布) [#z747add4]
-書式 COLOR(red){sample(x, size, replace = FALSE, prob = NULL)}
-引数
-- COLOR(red){x} : (数値、複素数、文字列、論理値)ベクトル。もしくは単一の整数(1:x と解釈)
-- COLOR(red){size} : 選ばれる項目の数 (省略時は lenngth(x))
-- COLOR(red){replace}: 論理値。復元抽出か非復元抽出か？
-- COLOR(red){prob} : 各項目を選び出す確率のベクトル(比率を与えるだけで良い)。省略時は等確率。replace=FALSE の時の意味は ?sample で確認すべし。
> x <- 1:12
> sample(x) # x のランダムな並べ変え
[1] 7 3 10 12 11 1 5 8 4 2 9 6
> sample(10) # 1:10 のランダムな並べ変え
[1] 4 7 1 10 6 5 9 3 2 8
> sample(x, replace = TRUE) # x からのランダムな復元抽出(つまり離散一様分布乱数)
[1] 11 6 9 9 8 9 4 9 8 8 2 5 # いま風にいえばブートストラップ・サンプリング
> sample(1:10, prob=1:10, replace=TRUE) # 抽出比率を指定した復元抽出(つまり離散非一様分布)
[1] 9 9 7 3 7 9 7 9 6 9
> sample(c(0, 1), 100, replace = TRUE) # 公平なコイン投げ100回のベルヌイ試行
[1] 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0
[38] 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1
[75] 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
> sample(c("T", "H"), 100, replace = TRUE)
[1] "H" "T" "H" "T" "H" "H" "H" "H" "T" "T" "H" "H" "H" "H" "T" "H" "H" "H"
[19] "H" "T" "T" "T" "T" "H" "H" "H" "H" "H" "T" "H" "T" "T" "T" "T" "T" "T"
[37] "H" "T" "T" "H" "H" "T" "H" "T" "H" "T" "T" "H" "T" "H" "H" "H" "T" "T"
[55] "T" "T" "T" "H" "T" "T" "H" "H" "T" "H" "T" "H" "H" "H" "H" "H" "H" "H"
[73] "H" "H" "T" "T" "H" "H" "H" "T" "H" "H" "H" "T" "H" "H" "H" "T" "H" "T"
[91] "H" "T" "H" "T" "H" "H" "H" "T" "T" "H"
## 単純無作為抽出のパラドックス
## n=10,000, 1000,000, 10,000,000 個の同質有限集団から100個を単純無作為抽出
## 標本標準偏差(つまり調査精度)はほとんど同一
## 一万個の母集団の平均情報を100個の標本で調査できるなら、
## 一千万個の(同質)母集団の平均情報も100個の標本で十分調査できる！
> y <- rnorm(10000)
> y1 <- sample(y, size=100); sd(y1)/sqrt(100)
[1] 0.1033224
> y <- rnorm(1000000)
> y1 <- sample(y, size=100); sd(y1)/sqrt(100)
[1] 0.1066535
> y <- rnorm(10000000)
> y1 <- sample(y, size=100); sd(y1)/sqrt(100)
[1] 0.1021400
終了行:
COLOR(red){SIZE(30){Rの確率分布システム}}
#contents
~
*R はさまざまな確率分布に関する関数を持つ。 [#jf12d3f5]
かって統計の本には必ず付いていた数表はもはや必要ない。R 自身がオンライン数表である。
R における確率分布関係関数は次のような統一的命名規則を持つ。つまり、分布名を xxx とすると
|dxxx | 密度関数(離散分布なら確率関数)の値 |
|pxxx | は累積確率分布関数値 P[X <= x] もしくは P[X > x] |
|qxxx | クォンタイル値(確率 q に対する P[X <=x]=q または P[X > x]=q となる x の値)|
|rxxx |(疑似)乱数|
例として正規分布を例にあげると
|dnorm(x, mean=0, sd=1, log = FALSE)|
|pnorm(q, mean=0, sd=1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)|
|qnorm(p, mean=0, sd=1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)|
|rnorm(n, mean=0, sd=1)|
ここで引数の意味は
| x | 密度関数を求める位置(のベクトル)|
| q | 確率分布関数を求める位置(のベクトル)|
| p | クォンタイル値を求める確率(のベクトル)|
| n | 発生すべき乱数の数|
(分布毎に異なる)パラメータ引数
| mean | 平均(のベクトル) |既定値は 0|
|sd | 標準偏差の(ベクトル)|既定値は 1|
その他のオプションパラメータ
|log | 論理値 | 既定値は FALSE | もし TRUE なら確率は対数値|
| log.p | 論理値 | 既定値は FALSE | もし TRUE なら確率は対数値|
| lower.tail | 論理値 | 既定値は TRUE | TRUE なら下側確率 P[X <= x]、もし FALSE なら上側確率 P[X > x]|
* base パッケージで提供される分布一覧 [#xb99d531]
貢献パッケージには多次元確率分布を含む、更に多くの関数が提供されている。
|分布名 | R での名前 | パラメータ |分布名 | R での名前 | パラメータ|
|ベータ | beta | shape1, shape2, ncp|2項 | binom | size, prob|
|コーシー | cauchy | location, scale|カイ自乗 | chisq | df, ncp|
|指数 | exp | rate|F | f | df1, df1, ncp|
|ガンマ | gamma | shape, scale|幾何 | geom | prob|
|超幾何 | hyper | m, n, k|対数正規 | lnorm | meanlog, sdlog|
|ロジスティック | logis | location, scale|多項 | multinom | n, size, prob |
|負の2項 | nbinom | size, prob|正規 | norm | mean, sd|
|ポアソン | pois | lambda|t | t | df, ncp|
|一様 | unif | min, max|ワイブル | weibull | shape, scale |
|ウィルコクソン | wilcox | m, n| スチューデント化範囲(チューキー) | tukey | nmenas, df, nranges |
(tukey 分布は ptukey と qtukey のみ)
* 例 [#j5e23133]
> ?rnorm
> dnorm(c(-0.7, 0.5, 1,2, 2.1)) # N(0,1) の密度関数
[1] 0.31225393 0.35206533 0.24197072 0.05399097 0.04398360
> pnorm(c(-0.7, 0.5, 1,2, 2.1)) # N(0,1) の累積確率分布
[1] 0.2419637 0.6914625 0.8413447 0.9772499 0.9821356
> qnorm((0:10)/10) # N(0,1) のクォンタイル
[1] -Inf -1.2815516 -0.8416212 -0.5244005 -0.2533471 0.0000000
[7] 0.2533471 0.5244005 0.8416212 1.2815516 Inf
> rnorm(10) # N(0,1) の乱数
[1] -0.68562741 1.54190545 -0.75403197 0.25997618 -0.54360004 1.11077348
[7] 0.11983464 -0.05869832 -0.21042407 0.14462494
> mean(rnorm(100, mean=1, sd=1.3))
[1] 1.026899 # 平均 1 を推定
> sd(rnorm(100, mean=1, sd=1.3))
[1] 1.253605 # 標準偏差 1.3 を推定
> pnorm(1.3, mean=1:3, sd=1:3) # (mean,sd)=(1,1),(2,2),(3,3) で計算
[1] 0.6179114 0.3631693 0.2854703
> pnorm(1.3, mean=1:3, sd=1.3) # 平均にベクトル指定
[1] 0.59125296 0.29512923 0.09548885
> pnorm(1.3, mean=1.3, sd=1:3) # 標準偏差にベクトル指定
[1] 0.5 0.5 0.5
> qnorm((0:10)/10, lower.tail=FALSE) #上側クォンタイル P[X > x]=q となる x
[1] Inf 1.2815516 0.8416212 0.5244005 0.2533471 0.0000000
[7] -0.2533471 -0.5244005 -0.8416212 -1.2815516 -Inf
> pnorm((0:10)/10, lower.tail=FALSE, log.p=TRUE) # log P[X <-x]
[1] -0.6931472 -0.7761546 -0.8657395 -0.9621028 -1.0654340 -1.1759118
[7] -1.2937038 -1.4189678 -1.5518513 -1.6924928 -1.8410216
*ランダムサンプリング sample関数 (一般的な有限離散分布) [#z747add4]
-書式 COLOR(red){sample(x, size, replace = FALSE, prob = NULL)}
-引数
-- COLOR(red){x} : (数値、複素数、文字列、論理値)ベクトル。もしくは単一の整数(1:x と解釈)
-- COLOR(red){size} : 選ばれる項目の数 (省略時は lenngth(x))
-- COLOR(red){replace}: 論理値。復元抽出か非復元抽出か？
-- COLOR(red){prob} : 各項目を選び出す確率のベクトル(比率を与えるだけで良い)。省略時は等確率。replace=FALSE の時の意味は ?sample で確認すべし。
> x <- 1:12
> sample(x) # x のランダムな並べ変え
[1] 7 3 10 12 11 1 5 8 4 2 9 6
> sample(10) # 1:10 のランダムな並べ変え
[1] 4 7 1 10 6 5 9 3 2 8
> sample(x, replace = TRUE) # x からのランダムな復元抽出(つまり離散一様分布乱数)
[1] 11 6 9 9 8 9 4 9 8 8 2 5 # いま風にいえばブートストラップ・サンプリング
> sample(1:10, prob=1:10, replace=TRUE) # 抽出比率を指定した復元抽出(つまり離散非一様分布)
[1] 9 9 7 3 7 9 7 9 6 9
> sample(c(0, 1), 100, replace = TRUE) # 公平なコイン投げ100回のベルヌイ試行
[1] 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0
[38] 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1
[75] 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
> sample(c("T", "H"), 100, replace = TRUE)
[1] "H" "T" "H" "T" "H" "H" "H" "H" "T" "T" "H" "H" "H" "H" "T" "H" "H" "H"
[19] "H" "T" "T" "T" "T" "H" "H" "H" "H" "H" "T" "H" "T" "T" "T" "T" "T" "T"
[37] "H" "T" "T" "H" "H" "T" "H" "T" "H" "T" "T" "H" "T" "H" "H" "H" "T" "T"
[55] "T" "T" "T" "H" "T" "T" "H" "H" "T" "H" "T" "H" "H" "H" "H" "H" "H" "H"
[73] "H" "H" "T" "T" "H" "H" "H" "T" "H" "H" "H" "T" "H" "H" "H" "T" "H" "T"
[91] "H" "T" "H" "T" "H" "H" "H" "T" "T" "H"
## 単純無作為抽出のパラドックス
## n=10,000, 1000,000, 10,000,000 個の同質有限集団から100個を単純無作為抽出
## 標本標準偏差(つまり調査精度)はほとんど同一
## 一万個の母集団の平均情報を100個の標本で調査できるなら、
## 一千万個の(同質)母集団の平均情報も100個の標本で十分調査できる！
> y <- rnorm(10000)
> y1 <- sample(y, size=100); sd(y1)/sqrt(100)
[1] 0.1033224
> y <- rnorm(1000000)
> y1 <- sample(y, size=100); sd(y1)/sqrt(100)
[1] 0.1066535
> y <- rnorm(10000000)
> y1 <- sample(y, size=100); sd(y1)/sqrt(100)
[1] 0.1021400
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