Rで数理計画
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//佐藤(2003-11-5) COLOR(red){SIZE(30){Rで数理計画}} (例題など、どんどん付け足してください。) ここでは、Rの関数を利用した数理計画問題の解法を説明します。 Rでも既存の関数を利用して、制約条件付き最適化問題を解くことができます。 // "*", "**", "***" による段落に応じて、ハイパーリンク付きの目次一覧をこの位置に置く // 行頭が "//" で始まる行はコメントで表示されません。 #contents // SIZE(num){テキスト} はテキスト文字の大きさを指定します // COLOR{color}{テキスト} はテキスト文字の色を指定します // 行頭が "**" で始まると、直前の "*" で始まる段落の副段落として整形されます // 二重括弧 "((...))" で囲ったテキストは注釈になります。注釈はページ末尾に置かれ、ハイパーリンクが張られます // 行頭に半角空白を置くとこの通り枠で囲って見易く整形されます // 行頭に半角空白がある引き続く行は一まとめに整形されます // コードを書くのに便利です // 行頭が "***" で始まると、直前の "**" で始まる副段落の副段落として整形されます // 行頭に "----" を置くとその場所に水平線が引かれます ---- // 行頭に "*" を置くと、段落見出しとして整形されます *線形計画法/整数計画法 [#k79bb2f1] LP。目的関数が1次(linear)で、制約条件が1次不等式で表現される数理計画問題。 **simplex 関数(bootパッケージ) [#bc9dc2f0] パッケージ boot の関数 simplex() を利用します。 **solveLP 関数(linprogパッケージ) [#h57b4eda] シンプレックス法を用いてLPを解く。linprogパッケージには，MPS形式のファイルを読みこむ，readMPS関数なども含まれている。 LPの解(最適解，最大(小)値)とともに，双対変数(シャドウバリュー)や感度分析の結果を得ることもできる。 [[linprog(線形計画/最適化)パッケージ中のオブジェクト一覧]] **lp関数(lpSolve パッケージ) [#bb6b975e] ソルバーとして，[[lp_solve:ftp://ftp.es.ele.tue.nl/pub/lp_solve/]]を利用している。整数計画法(および０‐１整数計画問題)にも対応((lp 関数の引数 int.vec で設定))。 lpSolve パッケージには割り当て問題や輸送問題の関数もある。[[lpSolve(線形・整数問題解法用 Lp_solve インターフェース)パッケージ中のオブジェクト一覧]] **lpSolveAPI(Interface to lp_solve v. 5.5) [#ac36e411] 機能は上と同じ？ **glpk パッケージ [#ua7d5a74] glpk([[Gnu Linear Programming Kit:http://www.gnu.org/software/glpk/glpk.html]])へのインターフェイスを提供。 **Rglpk パッケージ [#vb3ccfce] R interface to the GNU Linear Programing Kit (GLPK version 4.25). GLPK is open source software for solving large-scale linear programming (LP), mixed integer linear programming (MILP) and other related problems. [[Rglpk(R/GNU 線形計画キットインターフェース)パッケージ中のオブジェクト一覧]] **sublex パッケージ [#m37949f4] subplex 最適化アルゴリズム **Rcplex パッケージ [#ke76f81e] **DEA パッケージ 包絡分析 [#f9e9486c] **[[FEAR: Frontier Efficiency Analysis with R:http://www.clemson.edu/economics/faculty/wilson/Software/FEAR/fear.html]] [#uc2e1e93] **limSolve: Solving Linear Inverse Models [#u4a31a53] *2次計画法 [#y928225b] QP。目的関数が2次で制約条件が1次の不等式で表現される数理計画問題。 **パッケージ quadprog の関数 solve.QP() を利用します。 [#a3ff23e0] 解法アルゴリズムには，Goldfarb-Idnani法が採用されているので狭義凸2次計画問題(いわゆる行列Qが正定値対称行列の場合)を解くために利用できます。 **パッケージ kernlab の ipop 関数 2次計画法(Quadratic Programming) ソルバー [#u197f44e] -Karatzoglou, Alexandros; Smola, Alex; Hornik, Kurt; Zeileis, Achim(2004): [[kernlab - An S4 package for kernel methods in R. Research Report Series / Department of Statistics and Mathematics, Nr. 9, Institut fur Statistik und Mathematik :http://epub.wu-wien.ac.at/dyn/virlib/wp/showentry?ID=epub-wu-01_766]] 解説あり **Rcplex パッケージ [#s24bd10c] **LowRankQP: Low Rank Quadratic Programming [#y67ab392] *非線形計画法 [#c9b75dc6] **BB: Solving and Optimizing Large-Scale Nonlinear Systems [#g0ace6d0] *目標計画法 [#bad8517f] **goalprog パッケージ [#cabc2788] Weighted and lexicographical goal programming and optimization. *線形および2次混合線形計画 [#hc5b9c84] **Rcplex パッケージ [#p4e41dba] *線形不等式制約条件付き最適化問題 [#o850bad6] 制約条件が線形不等式の場合には、パッケージ base の関数 constrOptim() も利用することができます([[線形不等式制約付きの最適化関数 constrOptim]] 参照)。 *割り当て問題 [#veb7971d] **lp.assign.R 関数(lpSolveパッケージ) [#h1f30602] *輸送問題 [#jbb54a76] **lp.transport.R 関数(lpSolveパッケージ) [#i02a497a] *立地配分 [#d4f99855] **orloca: オペレーションリサーチの立地分析モデルを扱う [#z6b3ff04] [[orloca(オペレーションリサーチの立地分析モデルを扱う)パッケージ中のオブジェクト一覧]] *滑らかな非線形関数の最適化 [#rcc64f5b] -[[Rdonlp2>http://arumat.net/Rdonlp2/]] -制約条件が非線形関数の場合に使えます．目的関数はもちろん非線形ＯＫ -まだ、正式なパッケージではありません． -[[「donlp2」を使用した最適化ルーティン]] *その他 [#k251f292] -MSVAR: Markov Switching VAR C言語やFORTRANのルーチンを利用。 optim()なども少し関連。 -nleqslv: 非線形連立方程式を解く *CRAN TASK VIEWS [#w73a431d] [[Optimization and Mathematical Programming:http://cran.md.tsukuba.ac.jp/web/views/Optimization.html]] ---- *例題1(LP/IP/0-1IP) [#b529ec14] **線形計画問題 [#rd841374] - 目的関数 x1 + 9x2 + 3 x3 上の式の最大化 - 制約式 x1 + 2 x2 + 3 x3 <= 9 3 x1 + 2 x2 + 2 x3 <= 15 *** lpSolve [#j9808d5e] - 目的関数 f.obj <- c(1, 9, 3) - 制約式 f.con <- matrix (c(1, 2, 3, 3, 2, 2), nrow=2, byrow=TRUE) f.dir <- c("<=", "<=") f.rhs <- c(9, 15) **整数計画問題 [#vf8561c4] - 目的関数 x1 + 9 x2 + 3 x3 上の式の最大化 - 制約式 x1 + 2 x2 + 3 x3 <= 9 3 x1 + 2 x2 + 2 x3 <= 15 - 計算実行 lp ("max", f.obj, f.con, f.dir, f.rhs) - 解の表示 lp ("max", f.obj, f.con, f.dir, f.rhs)$solution *** lpSolve [#cc414bd9] - 目的関数 f.obj <- c(1, 9, 3) - 制約式 f.con <- matrix (c(1, 2, 3, 3, 2, 2), nrow=2, byrow=TRUE) f.dir <- c("<=", "<=") f.rhs <- c(9, 15) - 計算実行 lp ("max", f.obj, f.con, f.dir, f.rhs, int.vec=1:3) - 解の表示 lp ("max", f.obj, f.con, f.dir, f.rhs)$solution **0-1整数計画問題 [#f9a1e157] - 目的関数 - 制約式 *** lpSolve [#h4efd094] *例題2(QP) [#n067e010] **Rで有効フロンティア [#jd637cf2] -Rで金融の世界における有効フロンティアを描画してみました(byどうむ) -quadprogを使用しています。 -↓ソースコード（WINDOWS版、Xwindow版両方での動作を確認） library(quadprog) #二次計画法ルーティンのロード n <- 100 #銘柄数（自由に変更してください） return <- matrix(rnorm(1000*n,0.03,0.30), ncol=n) return[,n] <- return[,n]+0.05 #共分散行列を計算するためにリターンの系列を乱数で発生させてます ################################################## # n変数の有効フロンティア(リターン条件あり/ショートなし) # min(-d^T b + 1/2 b^T D b) # with the constraints A^T b >= b_0. # リターン一定で最小のリスクを算出しています（←ちょっと説明わかりにくい） ################################################## Dmat <- cov(return) #共分散行列 dvec <- rep(0,n) #０です tmp <- matrix(0,nrow=n,ncol=n) #ショートなし制約のための行列 diag(tmp) <- 1 Amat <- cbind(rep(1,n),apply(return,2,mean),tmp) #↑制約条件行列（ウエイトの合計が１／各銘柄の期待収益率／ショートなし） bvec <- c(1.0, 0.030, rep(0,n)) #↑制約条件行列（ウエイトの合計が１／ポートフォリオの期待収益率３％／ショートなし） sol <- solve.QP(Dmat,dvec,Amat,bvec=bvec,meq=2) #二次計画法実行 sum(sol$sol) #ウエイトの合計が１になっているかどうかの確認 t(matrix(sol$sol))%*%Dmat%*%matrix(sol$sol) #リスク t(matrix(sol$sol))%*%matrix(apply(return,2,mean)) #リターン（ちゃんと３％になってます） sol <- list(sol) #上の結果をリスト型として保存 for(iret in seq(0.03,0.05,by=0.0005)){ #リターンを3%から5%までうごかす bvec[2] <- iret sol <- c(sol,list(solve.QP(Dmat,dvec,Amat,bvec=bvec,meq=2))) #計算結果を変数「sol」に保存 } RetSigma<- sapply(sol, function(x){ c( sigma=sqrt(t(matrix(x$sol))%*%Dmat%*%matrix(x$sol)), ret=t(matrix(x$sol))%*%matrix(apply(return,2,mean)) ) } ) #↑結果を元にリターンとリスクを計算 RetSigma <- t(RetSigma) plot(RetSigma) #↑表示 #system.time(apply(matrix(1:100),1,function(x){sol <- solve.QP(Dmat,dvec,Amat,bvec=bvec,meq=2)})) -ご注意 --結果は毎回違います --nが1001より大きいと上記のバージョンでは動きません。 --Dmatがランク落ちしていたのが原因。 --乱数の種が1000以上に対応していないのかも。。。そのため共分散行列（Dmat）がランク落ち？ --実際のリターン系列を使用して、やってみたいですね。 -結果の有効フロンティアの例 #Ref(flontier.jpeg) --補足ですが、tseriesパッケージにsolve.QPを利用したportfolio.optimという 関数があります(by Y.) --補足ありがとうございます (。^_^。)／追加補足です。「portfolio.optim()」のウエイトの制約条件は、?ショートするかしないか?ウエイトの上限下限、を指定できるようになっています（もちろんウエイトの合計が１になるという条件はコーディングされているはず、コード見てないのでなんともいえませんが...）。一方で、たとえば４資産のポートフォリオで、あるＡ資産とＢ資産の合計が３５％を超えないようにするという制約条件は指定できません。そんな場合は「solve.QP()」を使用してAmatとbvecを指定する必要があります。（違いますでしょうか。。。）(byどうむ) --で、個人的な問題意識から[[こんなページ>「donlp2」を使用した最適化ルーティン]]を作成してみましたのでみなさん（Y.さんもよろしく^^）ぜひ情報をお願いいたします（←これが言いたかった(^_^;)）。(byどうむ) *例題3(AP) [#f0691db0] **割り当て問題 [#a839cbaa] *例題4(TP) [#w67361a9] **輸送問題 [#xe0e78ec] ***lpSolve [#ta940948] 実行例（発送地が８, 目的地が５の場合） -輸送費用 >costs <- matrix (100000, 8, 5);#最大輸送費用 10,000 >costs[4,1] <- costs[-4,5] <- 0 >costs[1,2] <- costs[2,3] <- costs[3,4] <- 7; costs[1,3] <- costs[2,4] <- 7.7 >costs[5,1] <- costs[7,3] <- 8; costs[1,4] <- 8.4; costs[6,2] <- 9 >costs[8,4] <- 10; costs[4,2:4] <- c(.7, 1.4, 2.1) -発送地 >row.signs <- rep ("<", 8) >row.rhs <- c(200, 300, 350, 200, 100, 50, 100, 150) -目的地 >col.signs <- rep (">", 5) >col.rhs <- c(250, 100, 400, 500, 200) -実行 >lp.transport (costs, row.signs, row.rhs, col.signs, col.rhs) -計算結果(最小の輸送費用) >lp.transport (costs, row.signs, row.rhs, col.signs, col.rhs)$solution [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [1,] 0 100 0 100 0 [2,] 0 0 300 0 0 [3,] 0 0 0 350 0 [4,] 200 0 0 0 0 [5,] 50 0 0 0 50 [6,] 0 0 0 0 50 [7,] 0 0 100 0 0 [8,] 0 0 0 50 100
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//佐藤(2003-11-5) COLOR(red){SIZE(30){Rで数理計画}} (例題など、どんどん付け足してください。) ここでは、Rの関数を利用した数理計画問題の解法を説明します。 Rでも既存の関数を利用して、制約条件付き最適化問題を解くことができます。 // "*", "**", "***" による段落に応じて、ハイパーリンク付きの目次一覧をこの位置に置く // 行頭が "//" で始まる行はコメントで表示されません。 #contents // SIZE(num){テキスト} はテキスト文字の大きさを指定します // COLOR{color}{テキスト} はテキスト文字の色を指定します // 行頭が "**" で始まると、直前の "*" で始まる段落の副段落として整形されます // 二重括弧 "((...))" で囲ったテキストは注釈になります。注釈はページ末尾に置かれ、ハイパーリンクが張られます // 行頭に半角空白を置くとこの通り枠で囲って見易く整形されます // 行頭に半角空白がある引き続く行は一まとめに整形されます // コードを書くのに便利です // 行頭が "***" で始まると、直前の "**" で始まる副段落の副段落として整形されます // 行頭に "----" を置くとその場所に水平線が引かれます ---- // 行頭に "*" を置くと、段落見出しとして整形されます *線形計画法/整数計画法 [#k79bb2f1] LP。目的関数が1次(linear)で、制約条件が1次不等式で表現される数理計画問題。 **simplex 関数(bootパッケージ) [#bc9dc2f0] パッケージ boot の関数 simplex() を利用します。 **solveLP 関数(linprogパッケージ) [#h57b4eda] シンプレックス法を用いてLPを解く。linprogパッケージには，MPS形式のファイルを読みこむ，readMPS関数なども含まれている。 LPの解(最適解，最大(小)値)とともに，双対変数(シャドウバリュー)や感度分析の結果を得ることもできる。 [[linprog(線形計画/最適化)パッケージ中のオブジェクト一覧]] **lp関数(lpSolve パッケージ) [#bb6b975e] ソルバーとして，[[lp_solve:ftp://ftp.es.ele.tue.nl/pub/lp_solve/]]を利用している。整数計画法(および０‐１整数計画問題)にも対応((lp 関数の引数 int.vec で設定))。 lpSolve パッケージには割り当て問題や輸送問題の関数もある。[[lpSolve(線形・整数問題解法用 Lp_solve インターフェース)パッケージ中のオブジェクト一覧]] **lpSolveAPI(Interface to lp_solve v. 5.5) [#ac36e411] 機能は上と同じ？ **glpk パッケージ [#ua7d5a74] glpk([[Gnu Linear Programming Kit:http://www.gnu.org/software/glpk/glpk.html]])へのインターフェイスを提供。 **Rglpk パッケージ [#vb3ccfce] R interface to the GNU Linear Programing Kit (GLPK version 4.25). GLPK is open source software for solving large-scale linear programming (LP), mixed integer linear programming (MILP) and other related problems. [[Rglpk(R/GNU 線形計画キットインターフェース)パッケージ中のオブジェクト一覧]] **sublex パッケージ [#m37949f4] subplex 最適化アルゴリズム **Rcplex パッケージ [#ke76f81e] **DEA パッケージ 包絡分析 [#f9e9486c] **[[FEAR: Frontier Efficiency Analysis with R:http://www.clemson.edu/economics/faculty/wilson/Software/FEAR/fear.html]] [#uc2e1e93] **limSolve: Solving Linear Inverse Models [#u4a31a53] *2次計画法 [#y928225b] QP。目的関数が2次で制約条件が1次の不等式で表現される数理計画問題。 **パッケージ quadprog の関数 solve.QP() を利用します。 [#a3ff23e0] 解法アルゴリズムには，Goldfarb-Idnani法が採用されているので狭義凸2次計画問題(いわゆる行列Qが正定値対称行列の場合)を解くために利用できます。 **パッケージ kernlab の ipop 関数 2次計画法(Quadratic Programming) ソルバー [#u197f44e] -Karatzoglou, Alexandros; Smola, Alex; Hornik, Kurt; Zeileis, Achim(2004): [[kernlab - An S4 package for kernel methods in R. Research Report Series / Department of Statistics and Mathematics, Nr. 9, Institut fur Statistik und Mathematik :http://epub.wu-wien.ac.at/dyn/virlib/wp/showentry?ID=epub-wu-01_766]] 解説あり **Rcplex パッケージ [#s24bd10c] **LowRankQP: Low Rank Quadratic Programming [#y67ab392] *非線形計画法 [#c9b75dc6] **BB: Solving and Optimizing Large-Scale Nonlinear Systems [#g0ace6d0] *目標計画法 [#bad8517f] **goalprog パッケージ [#cabc2788] Weighted and lexicographical goal programming and optimization. *線形および2次混合線形計画 [#hc5b9c84] **Rcplex パッケージ [#p4e41dba] *線形不等式制約条件付き最適化問題 [#o850bad6] 制約条件が線形不等式の場合には、パッケージ base の関数 constrOptim() も利用することができます([[線形不等式制約付きの最適化関数 constrOptim]] 参照)。 *割り当て問題 [#veb7971d] **lp.assign.R 関数(lpSolveパッケージ) [#h1f30602] *輸送問題 [#jbb54a76] **lp.transport.R 関数(lpSolveパッケージ) [#i02a497a] *立地配分 [#d4f99855] **orloca: オペレーションリサーチの立地分析モデルを扱う [#z6b3ff04] [[orloca(オペレーションリサーチの立地分析モデルを扱う)パッケージ中のオブジェクト一覧]] *滑らかな非線形関数の最適化 [#rcc64f5b] -[[Rdonlp2>http://arumat.net/Rdonlp2/]] -制約条件が非線形関数の場合に使えます．目的関数はもちろん非線形ＯＫ -まだ、正式なパッケージではありません． -[[「donlp2」を使用した最適化ルーティン]] *その他 [#k251f292] -MSVAR: Markov Switching VAR C言語やFORTRANのルーチンを利用。 optim()なども少し関連。 -nleqslv: 非線形連立方程式を解く *CRAN TASK VIEWS [#w73a431d] [[Optimization and Mathematical Programming:http://cran.md.tsukuba.ac.jp/web/views/Optimization.html]] ---- *例題1(LP/IP/0-1IP) [#b529ec14] **線形計画問題 [#rd841374] - 目的関数 x1 + 9x2 + 3 x3 上の式の最大化 - 制約式 x1 + 2 x2 + 3 x3 <= 9 3 x1 + 2 x2 + 2 x3 <= 15 *** lpSolve [#j9808d5e] - 目的関数 f.obj <- c(1, 9, 3) - 制約式 f.con <- matrix (c(1, 2, 3, 3, 2, 2), nrow=2, byrow=TRUE) f.dir <- c("<=", "<=") f.rhs <- c(9, 15) **整数計画問題 [#vf8561c4] - 目的関数 x1 + 9 x2 + 3 x3 上の式の最大化 - 制約式 x1 + 2 x2 + 3 x3 <= 9 3 x1 + 2 x2 + 2 x3 <= 15 - 計算実行 lp ("max", f.obj, f.con, f.dir, f.rhs) - 解の表示 lp ("max", f.obj, f.con, f.dir, f.rhs)$solution *** lpSolve [#cc414bd9] - 目的関数 f.obj <- c(1, 9, 3) - 制約式 f.con <- matrix (c(1, 2, 3, 3, 2, 2), nrow=2, byrow=TRUE) f.dir <- c("<=", "<=") f.rhs <- c(9, 15) - 計算実行 lp ("max", f.obj, f.con, f.dir, f.rhs, int.vec=1:3) - 解の表示 lp ("max", f.obj, f.con, f.dir, f.rhs)$solution **0-1整数計画問題 [#f9a1e157] - 目的関数 - 制約式 *** lpSolve [#h4efd094] *例題2(QP) [#n067e010] **Rで有効フロンティア [#jd637cf2] -Rで金融の世界における有効フロンティアを描画してみました(byどうむ) -quadprogを使用しています。 -↓ソースコード（WINDOWS版、Xwindow版両方での動作を確認） library(quadprog) #二次計画法ルーティンのロード n <- 100 #銘柄数（自由に変更してください） return <- matrix(rnorm(1000*n,0.03,0.30), ncol=n) return[,n] <- return[,n]+0.05 #共分散行列を計算するためにリターンの系列を乱数で発生させてます ################################################## # n変数の有効フロンティア(リターン条件あり/ショートなし) # min(-d^T b + 1/2 b^T D b) # with the constraints A^T b >= b_0. # リターン一定で最小のリスクを算出しています（←ちょっと説明わかりにくい） ################################################## Dmat <- cov(return) #共分散行列 dvec <- rep(0,n) #０です tmp <- matrix(0,nrow=n,ncol=n) #ショートなし制約のための行列 diag(tmp) <- 1 Amat <- cbind(rep(1,n),apply(return,2,mean),tmp) #↑制約条件行列（ウエイトの合計が１／各銘柄の期待収益率／ショートなし） bvec <- c(1.0, 0.030, rep(0,n)) #↑制約条件行列（ウエイトの合計が１／ポートフォリオの期待収益率３％／ショートなし） sol <- solve.QP(Dmat,dvec,Amat,bvec=bvec,meq=2) #二次計画法実行 sum(sol$sol) #ウエイトの合計が１になっているかどうかの確認 t(matrix(sol$sol))%*%Dmat%*%matrix(sol$sol) #リスク t(matrix(sol$sol))%*%matrix(apply(return,2,mean)) #リターン（ちゃんと３％になってます） sol <- list(sol) #上の結果をリスト型として保存 for(iret in seq(0.03,0.05,by=0.0005)){ #リターンを3%から5%までうごかす bvec[2] <- iret sol <- c(sol,list(solve.QP(Dmat,dvec,Amat,bvec=bvec,meq=2))) #計算結果を変数「sol」に保存 } RetSigma<- sapply(sol, function(x){ c( sigma=sqrt(t(matrix(x$sol))%*%Dmat%*%matrix(x$sol)), ret=t(matrix(x$sol))%*%matrix(apply(return,2,mean)) ) } ) #↑結果を元にリターンとリスクを計算 RetSigma <- t(RetSigma) plot(RetSigma) #↑表示 #system.time(apply(matrix(1:100),1,function(x){sol <- solve.QP(Dmat,dvec,Amat,bvec=bvec,meq=2)})) -ご注意 --結果は毎回違います --nが1001より大きいと上記のバージョンでは動きません。 --Dmatがランク落ちしていたのが原因。 --乱数の種が1000以上に対応していないのかも。。。そのため共分散行列（Dmat）がランク落ち？ --実際のリターン系列を使用して、やってみたいですね。 -結果の有効フロンティアの例 #Ref(flontier.jpeg) --補足ですが、tseriesパッケージにsolve.QPを利用したportfolio.optimという 関数があります(by Y.) --補足ありがとうございます (。^_^。)／追加補足です。「portfolio.optim()」のウエイトの制約条件は、?ショートするかしないか?ウエイトの上限下限、を指定できるようになっています（もちろんウエイトの合計が１になるという条件はコーディングされているはず、コード見てないのでなんともいえませんが...）。一方で、たとえば４資産のポートフォリオで、あるＡ資産とＢ資産の合計が３５％を超えないようにするという制約条件は指定できません。そんな場合は「solve.QP()」を使用してAmatとbvecを指定する必要があります。（違いますでしょうか。。。）(byどうむ) --で、個人的な問題意識から[[こんなページ>「donlp2」を使用した最適化ルーティン]]を作成してみましたのでみなさん（Y.さんもよろしく^^）ぜひ情報をお願いいたします（←これが言いたかった(^_^;)）。(byどうむ) *例題3(AP) [#f0691db0] **割り当て問題 [#a839cbaa] *例題4(TP) [#w67361a9] **輸送問題 [#xe0e78ec] ***lpSolve [#ta940948] 実行例（発送地が８, 目的地が５の場合） -輸送費用 >costs <- matrix (100000, 8, 5);#最大輸送費用 10,000 >costs[4,1] <- costs[-4,5] <- 0 >costs[1,2] <- costs[2,3] <- costs[3,4] <- 7; costs[1,3] <- costs[2,4] <- 7.7 >costs[5,1] <- costs[7,3] <- 8; costs[1,4] <- 8.4; costs[6,2] <- 9 >costs[8,4] <- 10; costs[4,2:4] <- c(.7, 1.4, 2.1) -発送地 >row.signs <- rep ("<", 8) >row.rhs <- c(200, 300, 350, 200, 100, 50, 100, 150) -目的地 >col.signs <- rep (">", 5) >col.rhs <- c(250, 100, 400, 500, 200) -実行 >lp.transport (costs, row.signs, row.rhs, col.signs, col.rhs) -計算結果(最小の輸送費用) >lp.transport (costs, row.signs, row.rhs, col.signs, col.rhs)$solution [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [1,] 0 100 0 100 0 [2,] 0 0 300 0 0 [3,] 0 0 0 350 0 [4,] 200 0 0 0 0 [5,] 50 0 0 0 50 [6,] 0 0 0 0 50 [7,] 0 0 100 0 0 [8,] 0 0 0 50 100
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