階段関数、経験分布関数の編集

COLOR(red){SIZE(20){階段関数、経験分布関数}}

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R の標準ライブラリの一つである COLOR(magenta){stepfun} は階段関数を扱うライブラリで、特に経験分布関数の作図ができる。関数 COLOR(red){stepfun}, COLOR(red){ecdf} は関数を返す関数である。plot 関数はクラス stepfun (階段状関数) とクラス ecdf (経験分布関数) のオブジェクトからそのグラフを描く(実際は関数 plot.stepfun が呼び出される)。

#contents
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** データから経験分布関数を計算する関数 ecdf() [#cf815d6d]

R の標準ライブラリの一つである COLOR(magenta){stepfun} は階段関数を扱うライブラリで、特に経験分布関数の作図ができる。

- COLOR(magenta){用法}
-- COLOR(red){ecdf(x)} 数値データをクラス "ecdf" のオブジェクトに変換する
-- COLOR(red){plot(x, ..., ylab="Fn(x)", verticals = FALSE, col.01line = "gray70")}
-- COLOR(red){print(x, digits= getOption("digits") - 2, ...)}

- COLOR(magenta){引数}
-- COLOR(red){x} クラス ecdf の観測値数値ベクトル
-- COLOR(red){...} 'plot.stepfun' に引き渡される追加引数
-- COLOR(red){ylab} y-軸ラベル
-- COLOR(red){verticals} 'plot.stepfun' を見よ
-- COLOR(red){ol.01line} 線 y=0, y=1 に引かれる水平線の色を与える数値もしくは文字
-- COLOR(red){digits} 用いられる有効数字桁数

- COLOR(magenta){詳細} 
-- e.c.d.f. (累積経験分布関数, empirical cumulative distribution function) Fn は観測値で 1/n づつジャンプする階段状関数で、タイ(同じ値の観測値)があれば、その分重複してジャンプする。観測値 'x'= (x1,x2, ... xn) に対して Fn は t 以下の値をもつ関数の割合である、つまり

Fn(t) = #{x_i <= t} / n  =  1/n sum(i=1,n) Indicator(xi <= t).

-- 関数 'plot.ecdf' は "ecdf" オブジェクトに対する 'plot' メソッドで 'plot.stepfun' を呼び出す。

COLOR(magenta){返り値} クラス "ecdf" の関数で、"stepfun" クラスを継承する。

*** 例1 [#e5031203]
 > sf <- ecdf(sort(runif(15))) # ecdf そして stepfun は実際は関数である
 > sf(0.23)
 [1] 0.2666667

*** 例2 [#fb38f0b2]
 library(stepfun) # ライブラリ stepfun を読み込み   
 y <- round(rnorm(12),1); y[3] <- y[1] # 参考データ(わざとタイを作る)
 Fn12 <- ecdf(y) # クラス ecdf のオブジェクトに変換
 par(mfrow=c(3,1), mgp=c(1.5, 0.8,0), mar= .1+c(3,3,2,1)) # 画面三分割
 F10 <- ecdf(rnorm(10)) # もう一つの参考データ
 plot(F10)
 plot(F10, verticals= TRUE, do.p = FALSE)
 plot(Fn12)# , lwd=2) dis-regarded
#ref(階段関数、経験分布関数/stepfun1.jpg, left)

*** 例3 [#y818c94a]
 library(stepfun) # ライブラリ stepfun を読み込み   
 xx <- unique(sort(c(seq(-3,2, length=201), knots(Fn12))))
 lines(xx, Fn12(xx), col='blue')
 abline(v=knots(Fn12),lty=2,col='gray70')
 plot(xx, Fn12(xx), type='b', cex=.1) #- plot.default
 plot(Fn12, col.h='red', add= TRUE)  # データ位置に縦線を加える
 abline(v=knots(Fn12),lty=2,col='gray70')
 plot(Fn12, verticals=TRUE, col.p='blue', col.h='red',col.v='bisque')
#ref(階段関数、経験分布関数/stepfun2.jpg, left)

*** 例4 [#o4781191]
 library(stepfun) # ライブラリ stepfun を読み込み   
 plot.ecdf(rnorm(24)) # 自動的に ecdf(.) を呼び出す
#ref(階段関数、経験分布関数/stepfun3.jpg, left)

** 与えられた結び目を通る階段関数を計算する stepfun() 関数 [#n482a69b]

-COLOR(magenta){説明} ベクトル (x[1],..., x[n]) と (y[0],y[1],..., y[n]) (y の方が一つ長さが長い) を与えた時、COLOR(red){stepfun(x,y,...)} は x,y を「補間する階段関数」fn を計算する。つまり
 fn(t) = c[i] (定数) for t in (x[i], x[i+1])
 fn(x[i]) = y[i]  'right = FALSE' (既定)のとき、
 fn(x[i]) = y[i-1] 'right = TRUE' の時

定数 c[i] の値は「連続性パラメータ」COLOR(red){f} に依存する。既定である 'right = FALSE, f = 0' では関数は cadlag (左連続) となる。一般には c[i] は c[i] = (1-f)*y[i] + f*y[i+1] と補間される。零以外の f 値では、関数は区切り点の左右から不連続となり、本来の意味での階段関数には、ならない、例外は 'right = TRUE, f = 1' の場合で右連続となる。 
-COLOR(magenta){使用法}
--COLOR(red){stepfun(x, y, f = as.numeric(right), ties = "ordered", right = FALSE)}
--COLOR(red){is.stepfun(x)}
--COLOR(red){knots(Fn, ...)}
--COLOR(red){as.stepfun(x, ...)}
--COLOR(red){print(x, digits = getOption("digits") - 2, ...)}
--COLOR(red){summary(object, ...)}
-COLOR(magenta){引数}
--COLOR(red){x} ジャンプ点を表す数値ベクトル。
--COLOR(red){y} x より一つ長い数値ベクトル。x の値の間の関数の値を与える。
--COLOR(red){f} 0 と 1 の間の値。境界での y 値の補間方法を与える。
--COLOR(red){ties} x のタイ値の扱い。処理方法を与える関数名か、文字列 '"ordered"'
--COLOR(red){right} 論理値。各区間が右に閉(そして左に開)か、またはその逆か。
--COLOR(red){Fn} '"stepfun"' を継承する R オブジェクト
--COLOR(red){digits} 有効数字桁数
--COLOR(red){...} 潜在的に可能な追加引数(構文的に必要)

-COLOR(magenta){返り値} クラス COLOR(red){stepfun} の関数。メソッド COLOR(red){summary(.)}, COLOR(red){print(.)}, COLOR(red){plot(.)} を持つ。
COLOR(red){plot.stepfun} を参照)。関数の環境は次のような必要なすべての情報を持つ：
--COLOR(red){"x"}, COLOR(red){"y"} 元データ
--COLOR(red){"n"} ノット(x の長さ)数
--COLOR(red){"f"}: 連続性パラメータ
--COLOR(red){"yleft"}, COLOR(red){"yright"} ノットの外部の関数値
--COLOR(red){"method"}  常に '== "constant"'
--COLOR(red){normal-bracket109bracket-normal} ノットはまた 'knots(fn)' で得られる

***例 [#u83487a2]
 library(stepfun)
 par(mfrow=c(2,2))
 x <- sort(runif(10)); y <- runif(11)
 plot(stepfun(x, y, f=0))
 plot(stepfun(x, y, f=0.3))
 plot(stepfun(x, y, f=0.7))
 plot(stepfun(x, y, f=1.0))
#ref(階段関数、経験分布関数/stepfun4.jpg, left)

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